\begin{lemma}
  Для данного семейства $(A_i)_{i\in I}$ все объекты-произведения
  изоморфны.
\end{lemma}

\begin{proof}
  Достаточно доказать аналог леммы \ref{prodiso} для семейства объектов.
\end{proof}

\begin{example}
  В категории $\SET$:
    $$\prod\limits_{i\in I} A_i=\{f\colon I\to \bigcup\limits_{i\in I} A_i\mid
      \forall i\in I~~ f(i)\in A_i\}$$

  Аксиома выбора:
    $(\forall i\in I~~A_i\ne \emptyset)\Rightarrow
      \prod\limits_{i\in I} A_i\ne \emptyset$.
  \footnote{Т.е. существует хотя бы одна функция выбора $f$ ---
            \textit{прим. наборщика}.}
\end{example}

\begin{lemma}
  $(\prod\limits_{i\in I} A_i,(p_{A_i})_{i\in I})$ --- произведение в $\SET$.

  Здесь $p_{A_i}\colon f\mapsto f(i)$.
\end{lemma}

\begin{proof}

    $${\begin{tikzcd}
      X \arrow{dd}[swap]{\alpha_i} \arrow[dashed]{rd}{\beta} \\
      & \prod A_i \arrow{ld}{p_{A_i}} \\
      A_i
    \end{tikzcd}}$$

    Итак, требуется для любого множества $X$ с отображениями
    $\alpha_i\colon X\to A_i$ построить такое $\beta$, чтобы диаграмма стала
    коммутативной, т.е.
      $$\forall x\in X~~ \forall i\in I~~ p_{A_i}(\beta(x))=\alpha_i(x)$$

    Зафиксируем какие-то $x$ и $i$ и рассмотрим что означает это условие.
    Если $\beta(x)=f$, то условие равносильно $f(i)=\alpha_i(x)$.

    Но, заметим, что $\forall x~ \exists! f~ \forall i~~ f(i)=\alpha_i(x)$,
    следовательно искомое $\beta$ существует и единственно, что и требовалось
    доказать.
\end{proof}

\begin{example}
  В категории $\SET$:
    $$\coprod\limits_{i\in I} A_i\leftrightharpoons
      \bigcup\limits_{i\in I} A_i\times\{i\}$$
    $$b_{A_i}(x)\leftrightharpoons (x,i)$$
\end{example}

\begin{lemma}
  $(\coprod\limits_{i\in I} A_i, (b_{A_i})_{i\in I})$ --- сумма в $\SET$.
\end{lemma}

\begin{exercise}Доказать.\end{exercise}

\begin{category}
  (\textit{Категория абелевых групп}\index{Категория абелевых групп})

  Обозначение: $\ABGR$.
\end{category}

\begin{exercise}Докажите в $\ABGR$, что $A\times B\approx A+B$.\end{exercise}

\begin{definition}
  \textit{Категория с конечными произведениями} --- категория, в которой у любых
  двух объектов существует произведение.
\end{definition}

\begin{definition}
  \textit{Категория с конечными суммами} --- категория, в которой у любых
  двух объектов существует сумма.
\end{definition}

\begin{example}
  Пусть $(W,\leq)$ --- частично упорядоченное множество, $\CC=\Cat(W,\leq)$.

    $${\begin{tikzcd}
       & a \arrow{rd} \\
       \inf(a,b)=a\prod b \arrow{ru} \arrow{rd} & & a\coprod b=\sup(a,b) \\
       & b \arrow{ru} \\
    \end{tikzcd}}$$
\end{example}

% TODO произведения => суммы

\begin{category} $\CCdC$
 
    $$\Ob\CCdC\colon{\begin{tikzcd}
      X \arrow{d}[swap]{\alpha}\\
      C
    \end{tikzcd}}~~~~~
    \Mor\CCdC\colon{\begin{tikzcd}
      X \arrow{r}{\gamma} \arrow{d}[swap]{\alpha} & Y \arrow{ld}{\beta} \\
      C
    \end{tikzcd}}
    $$
\end{category}

\begin{category} $\Con_{\CCdC}(\alpha,\beta)$ ---
  \textit{категория коммутативных квадратов}
  \index{Категория коммутативных квадратов}.

  Иначе говоря, это категория конусов над объектами
  $\alpha$ и $\beta$ категории $\CCdC$.
  Следующие диаграммы помогут понять устройство этой категории с точки
  зрения изначальной категории $\CC$:
  
    $$\Ob\colon{\begin{tikzcd}
      X \arrow{r} \arrow{d} \arrow{rd}[description]{\gamma} &
          A \arrow{d}{\alpha} \\
      B \arrow{r}[swap]{\beta} & C
    \end{tikzcd}}~~~~~
    \Mor\colon{\begin{tikzcd}
      Y \arrow{rrrd}{\varphi'} \arrow{ddrr}[swap]{\psi'}
        \arrow{rrd}[description]{\theta} \\
      & & X \arrow{r}[swap]{\varphi} \arrow{d}{\psi} 
          \arrow{rd}[description]{\gamma} & A \arrow{d}{\alpha} \\
      & & B \arrow{r}[swap]{\beta} & C
    \end{tikzcd}}
    $$

  Так же внимания заслуживает диаграмма морфизма с точки зрения категории
  $\CCdC$:

    $$\Mor\colon{\begin{tikzcd}
      & \gamma' \arrow{ldd}[swap]{\tilde{\varphi}'}
                \arrow{rdd}{\tilde{\psi}'}
                \arrow{d}[description]{\tilde{\theta}} \\
      & \gamma  \arrow{ld}{\tilde{\varphi}}
                \arrow{rd}[swap]{\tilde{\psi}} \\
      \alpha & & \beta
    \end{tikzcd}}
    $$

   Волна здесь отображает морфизмы из $\CC$ в соответствующие морфизмы
   категории $\CCdC$.
\end{category}

\begin{definition}
  \textit{Расслоенным произведением}\index{Расслоенное произведение} или
  \textit{декартовым квадратом}\index{Декартов квадрат} называется
  финальный объект в категории $\Con_{\CCdC}(\alpha,\beta)$. 

  Обозначения для объекта в $\CC$: $A\prod_C B$ или $A\times_C B$.
  Эти обозначения неоднозначны
  в том смысле, что конкретный выбор стрелок $\alpha$ и $\beta$ не задан. 

  % TODO рисуночки
\end{definition}

\begin{lemma}
  В $\SET$ существует расслоенное произведение.
\end{lemma}

\begin{proof}
\end{proof}
